Diketahui vektor a = 2i -3j +6k ,c = 5i+4j -2k dan b sejajar tapi berlawanan arah dengan c. Proyeksi vektor b pada a adalah?

Kelas         : XII
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Vektor
Kata Kunci : proyeksi vektor, sejajar, berlawanan arah

Kode : 12.2.4 [Kelas 12 Matematika BAB 4 - Vektor]

Diketahui
Vektor a = 2i - 3j + 6k
Vektor c = 5i + 4j - 2k
Vektor b sejajar tetapi berlawanan arah dengan vektor c

Ditanya
Proyeksi vektor b pada vektor a

Penyelesaian

Step-1
Menentukan vektor b

Diketahui vektor b sejajar tetapi berlawanan arah dengan vektor c.
Kondisi kedua vektor tersebut adalah b = -c.
Dengan asumsi bahwa |b| = |c|, panjang kedua vektor sama.
Sehingga, vektor b = -(5i + 4j - 2k) ⇒ vektor b = -5i - 4j + 2k.

Step-2
Panjang proyeksi vektor b terhadap vektor a

Panjang proyeksi vektor b pada a [tex] =\frac{b.a}{|a|} [/tex]
Panjang proyeksi vektor b pada a [tex] =\frac{ \left[\begin{array}{ccc}-5\\-4\\2\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}2\\-3\\6\end{array}\right] }{\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}} [/tex]
Panjang proyeksi vektor b pada a [tex] =\frac{-10+12+12}{ \sqrt{4+9+36} } [/tex]
Panjang proyeksi vektor b pada a [tex]= \frac{14}{7} [/tex] yakni 2 satuan panjang.

Step-3
Vektor proyeksi b terhadap vektor a

Vektor proyeksi b terhadap vektor a [tex] =[\frac{b.a}{|a|^2}] a[/tex]
Vektor proyeksi b terhadap vektor a [tex]=\frac{ \left[\begin{array}{ccc}-5\\-4\\2\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}2\\-3\\6\end{array}\right] }{ (\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2})^2 } \left[\begin{array}{ccc}2\\-3\\6\end{array}\right][/tex]
Vektor proyeksi b terhadap vektor a [tex]=\frac{-10+12+12}{4+9+36}
\left[\begin{array}{ccc}2\\-3\\6\end{array}\right][/tex]
Vektor proyeksi b terhadap vektor a [tex]= \frac{14}{49} \left[\begin{array}{ccc}2\\-3\\6\end{array}\right][/tex]

Diperoleh proyeksi vektor b terhadap vektor a [tex]= \frac{2}{7} \left[\begin{array}{ccc}2\\-3\\6\end{array}\right][/tex]
Atau dapat ditulis sebagai 
[tex]= \left[\begin{array}{ccc} \frac{4}{7} \\- \frac{6}{7} \\ \frac{12}{7} \end{array}\right][/tex]

___________________________

Pelajari lebih lanjut persoalan tentang proyeksi vektor
https://brainly.co.id/tugas/4024868
Simak juga persoalan tentang vektor satuan
https://brainly.co.id/tugas/9873035